数海明珠:梅森素数

■ 张翔

最近，一位名叫帕特里克·拉罗什（Patrick Laroche）的美国人利用“互联网梅森素数大搜索”（GIMPS）项目，成功发现第51个梅森素数2^82589933-1(即2的82589933次方减1)；该素数有24862048位，是迄今为止人类发现的最大素数。

众所周知，素数又叫质数，是在大于1的自然数中只能被1和其自身整除的数。每个自然数都可以唯一地分解成有限个素数的乘积，素数因此构成了自然数体系的基石。2300多年前，古希腊数学家欧几里得在《几何原本》一书中证明了素数有无穷多个，并提出一些素数可写成“2^P-1”（其中P也是素数）的形式。

由于这种特殊形式的素数具有独特数学性质，千百年来，许多著名数学家以及无数数学爱好者对它情有独钟。其中，17世纪的法国数学家、法兰西科学院奠基人梅森在这方面有过重要贡献。为了纪念梅森，数学界在19世纪末就将“2^P-1”型的素数称为“梅森素数”。这种素数珍奇而迷人，因而被称为“数海明珠”。

梅森素数貌似简单，但当指数P值较大时，其素性检验的难度就会很大；它的探究不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而且还需要进行艰巨的计算。例如，享有“数学英雄”美誉的瑞士数学家及物理学家欧拉1772年在双目失明的情况下，以顽强毅力靠心算证明了2^31-1（即2147483647）是第8个梅森素数；该素数有10位，堪称当时世界上已知的最大素数。

在“手算笔录年代”，人们历尽艰辛，共计才找到12个梅森素数。而电子计算机的出现，尤其是网格计算时代的到来，大大加快了梅森素数探究步伐。1996年年初，美国数学家及程序设计师沃特曼编制了一个梅森素数计算程序，并把它放在网页上供人们免费使用。这一计算程序就是举世闻名的GIMPS项目，也是全球首个基于互联网的网格计算项目。

为了激励人们寻找梅森素数以及促进网格计算技术发展，总部设在美国的“电子前沿基金会”（EFF）于1999年3月向全世界宣布了为通过GIMPS项目来寻找梅森素数而设立的协同计算奖。该奖规定：向第一个找到超过1000万位数的个人或团体颁发10万美元；后面的奖金依次为：超过1亿位数，15万美元；超过10亿位数，25万美元。

至今人们通过GIMPS项目已经找到17个梅森素数。目前，世界上有190多个国家和地区近70万人参加了这一项目，并动用了超过180万核中央处理器联网来寻找新的梅森素数。可见，当今的梅森素数探究非常火爆；这在数学史上前所未有，在科学史上也极为罕见。

值得指出的是，在梅森素数的基础研究方面，法国数学家鲁卡斯和美国数学家雷默都做出了重要贡献；以他们命名的“鲁卡斯-雷默方法”是目前已知的检测梅森素数素性的最佳方法。另外，中国数学家及语言学家周海中给出了梅森素数分布的精确表达式；这一研究成果被国际上命名为“周氏猜测”。

探究梅森素数具有重大意义，是发现已知最大素数的最有效途径，有力推动了素数论的研究。另外，梅森素数在计算机科学领域具有重要应用价值——它可以用来检测计算机系统或程序中存在的问题。因此许多专家认为，梅森素数的研究成果一定程度上反映了一个国家的科技水平。英国数学协会主席、《素数的音乐》一书作者索托伊甚至认为，梅森素数的探究进展不但是人类智力发展在数学上的一种标志，也是整个科技发展的里程碑之一。

（作者系美国加州大学博士后）